포스테키안

2019 여름호 / 지식더하기 Ⅱ

2019-07-18 33

회전 운동 속에서의 관성, 관성 모멘트

 회전축이 중심에 있는 막대 이미지

그림1 회전축이 중심에 있는 막대

https://namu.wiki/w/%EA%B4%80%EC%84%B1%20%EB%AA%A8%EB%A9%98%ED%8A%B8#s-1

회전축이 끝에 있는 막대 이미지

그림2 회전축이 끝에 있는 막대

https://namu.wiki/w/%EA%B4%80%EC%84%B1%20%EB%AA%A8%EB%A9%98%ED%8A%B8#s-1

여러분, 관성이 현재의 운도 상태를 계속 유자하려는 성질이라는 것은 중학교땨 배워서 모두 알고 있죠? 달리던 차가 급하게 브레이크를 밟았을 때 몸이 앞으로 쏠리는 현상들이 그 예시였습니다. 그렇다면, 화전 운동을 하는 물체에서는 어떻게 될까요? 이번 지식 더하기 코너에서는 회전운동에서의 관성인 관성 모멘트에 대해서 알아보록 하겠습니다! 뉴턴의 운동 제 2법칙(가속도의 법칙)에 따르면, 선형 운동을 하는 물체에 림을 가하면 힘의 방향으로 가속도를 받습니다. 이를 F=ma라고 쓰는데요, 같은 힘을 가하더라도 질량이 큰 물체는 작은 가속도를 얻습니다. 회전 운동에서도 마찬가지로 돌림힘을 가하면 각속도(회전계에서의 가속도)가 빨라집니다. 이때 위의 질량 역할을 수행하는 것이 바로 관성 모멘트입니다. 같은 돌림힘을 가 했을때, 관성 모맨트값이 큰 물체 일수록 회전 속도가 천천히 증가합니다. 이를 식으로 적으면 t=Ia로 t는 돌림힘, I는 관성 모멘트 a는 각가속도를 의미합니다. 질량은 병하지 않는 교유의 값이지만, 관성 모멘트는 같은 물체라도 회전축의 위치에 따라 그 값이 바뀝니다. 그렇다면, 이 값을 어떻게 계산할 수 있을까요? 먼저, 물체를 n개의 질점(질량을 갖는 점)으로 쪼개어 생각하면, 회전 에너지 Tr는 각 질점의 운동에너지 의 합으로 표현할 수 있습니다. 이떄, 속도는 반지름과 각속도의 곱으로 나타낼 수 있고, 각각의 질점들은 한 물체이기 떄문에 속도도 wi는 물체의 각속도인 w와 같습니다. 이를 식으로 정리하면 다음과 같습니다. 여기서 괄호 안의 부분을 관서 모멘트로 정의합니다. 이 때 한 물체는 무한 개의 질점 즉 미소 질량으로 쪼갤 수 있기 때문에, 식을 적분으로 대체할 수 있습니다. 그렇다면, 회전축의 위치에 따라 관성 모멘트의 값이 어떻게 바뀌는지 구체적인 계산 과정과 함께 알아보록 하겠습니다, 그림1과 같이 회전축이 중심에 있는 길이가 L이고 질량이 M인 아주 얇은 막대의 관성 모멘트값은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 먼저, 막대가 매우 얇다고 가정했기 떄문에 회전 축 방향의 단면인 원은 작은 점 하나로 근사되고, 미소 질량(dm) 미소 길이(dx)에 선밀도를 곱한 값으로 대체됩니다. 이때 선밀도란 길이당 질량을 나타내는 물리량으로 막대의 총 질량(m)을 총 길이(L)로 나눈 값입니다. 이를 식으로 정리하면 다음과 같습니다. 이 값을 식에 대입라면 간단한 적분 계산으로 막대의 관성 모멘트값을 구할 수 있습니다. 그림 2와 같이 회전축이 막대의 끝에 있는 경우에는 같은 방법으로 구할 수 있고, 그 결과 앞서 구한 값과 큰 차이가 나는 것을 확인할 수 있습니다. 이렇게 관성 모멘트의 개념, 성질, 그리고 간단한 계산법에 대해서 알아보았는데요, 고등학교 과정을 넘어가도 간단한 적분을 통해 구할 수 있기 때문에 아주 어렵지 않답니다. 분량이 부족하여 평행축 정리, 관성 텐서 등의 더 심화된 개념에 대해서는 소개하지 못하였는데, 물리에 흥미가 있는 친구들은 한번 공부해 보시면 유익할 거예요! 파이팅!

 알리미 23기 컴퓨터공학과 17학번 유태형

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